New PDF release: Algebraic topology

By Wolfgang Franz

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K W ist. Beweis: Ubung! Die Menge der (k+1)-dimensionalen linearen Teilraume von Pn, die einen festen k-dimensionalen linearen Teilraum enthalten, hat in naturlicher Weise die Struktur eines projektiven Raumes Pn k 1. 8 Hyperebenen durch einen festen 2-codimensionalen Teilraum bilden einen P1, ein sogenanntes Hyperebenenbuschel. 9 a) Ist H = V(L) Pn eine Hyperebene mit Gleichung L = a0Z0 + + anZn , so ist a0 : : : : : an ] 2 Pn eindeutig durch H bestimmt und H 7 ! a0 : : : : : an ] ist eine Bijektion Pn = fH j H Hyperebene in Png !

C . A Zd k Zd Dann ist d (P1) = f Z] 2 Pd j rg Mk (Z) 1g. 0Z Z Z 1 0 1 2 3) Es sei F = det ZZ ZZ und G = det @ Z1 Z2 Z3 A. Bestimme V(F) \ V(G). 18 Durch d + 3 Punkte in allgemeiner Lage in Pd geht genau eine rationale Normkurve. Beweis: konnen wir annehmen, da die gegebenen Punkte folgende homogene Koordinaten besitzen (eventuell mu man eine Projektivitat anwenden): p0 = 1 : 0 : : : : : 0]; p1 = 0 : 1 : 0 : : : : : 0]; : : :; pd = 0 : : : : : 0 : 1]; pd+1 = 1 : : : : : 1]; pd+2 = a0 : : : : : ad ]: Da p0 ; : : :; pd+2 in allgemeiner Lage sind, bedeutet: ai 6= 0 fur i = 0; : : :; d (ai ="det(p0 ; : : :; pi 1; pd+2 ; pi+1; : : :; pd )\) und ai 6= aj 8 i 6= j.

Fdh sei die Homogenisierungs- bzw. Dehomogenisierungsabbildung. Dann gilt a) (fg)h = f h gh ; (FG)dh = Fdh Gdh , b) (f h )dh = f; (Fdh )h X0r = F fur ein r 2 N, c) (F + G)dh = Fdh + Gdh ; X0t (f + g)h = X0r f h + X0s gh , wobei r; s; t 2 N geeignet zu wahlen sind. Beweis: Ubung. Ubungen P @F . 1) Beweise: Ist F 2 K Z0 ; : : :; Zn] homogen vom Grad m, so gilt m F = n=0 Z @Z @F ; @F ; @F 2) Fur F 2 R Z0; Z1 ; Z2] sei Sing(F) := V @Z P2. ' : P2 n V(Z0) ! R2 sei die @Z @Z Bijektion '( Z0 : Z1 : Z2 ]) = ZZ ; ZZ = (z1 ; z2).

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Algebraic topology by Wolfgang Franz


by Charles
4.2

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