By Eells J. (ed.)
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LSt, Wle ~ -r;; ' assozller, wobei m' eine Potenz von ~ ist; also geht in (d) nur die einzige Primzahl ~ auf. Auch im Excludenten m·d geht demnach allein ~ auf. Damit beherrschen wir die Zerlegung aller Primzahlen in diesen Karpern. Wir kannen jetzt auch zu einer Basis gelangen. Sei m = und A = l-Z;. ~ Satz: 1,A,A 2 , ... ,A ~-2 bilden eine Basis. Beweis: Diese GraBen sind linear unabhangig, sonst wUrde ~ einer Gleichung von niedrigerem als (~-l)-ten Grade genUgen. Ihre Anzahl ist ~(m) = ~-1. Also kann man jedes w mit rationalen r i ausdrUcken: w = ro + riA + ••• + r~_2A R.
A ist teilbar durch b. Was hat das mit der Teilbarkeit der Zahlen zu tun? Die Zahl a heiBt durch S teilbar, wenn ganz ist. a = (a) heiBt ein Hauptideal. 1st nun Sla, so ist (S)I(a) und umgekehrt. Teilbarkeit der Hauptideale ist zurUckfUhrbar auf Teilbarkeit der Zahlen und umgekehrt. F Das Ideal a = (1) besteht aus allen ganzen Korperzahlen. Es ist a = a·a. Besteht keine andere Zerlegung, als diese triviale, so heiBt a Primideal. Es gibt solche. • , wo die Pi Primideale sind und die ai angeben, wie oft jedes als Faktor steht; und diese Zerlegung ist bis auf die Reihenfolge eindeutig.
Es gibt im Korper eine Basis. h. ) n n xi darstellbar sind. Mit ",(1 seien die Konjugierten zu '" bezeichnet. III' 1 '" 2' '" n "" n 2 =d ¥ 0 ",(n-1) 1 ist eine ganze rationale Zahl, die dem Korper als solchem, unabhangig von der besonderen Wahl der Basis, zukommt: die Diskriminante des Korpers. Sie ist stets durch mindestens eine Primzahl teilbar, also ¥ ±1. 2) Ideal. h. fragen, - 8 ob eine Gleichung a = S·y moglich ist oder nicht, wobei S und yauch ganz sein sollen. E auch ganz ist: Einheiten; und zwar im Allgemeinen unendlich viele.
Complex Analysis by Eells J. (ed.)
by Joseph
4.2