By Bruno Ingrao
ISBN-10: 2916352120
ISBN-13: 9782916352121
Les coniques ont, depuis toujours, fasciné les amateurs de technology, au sens le plus huge. Il faut dire qu’elles sont présentes dans les occasions les plus diverses. Mais cette fascination s’exerce encore aujourd’hui sur les mathématiciens, et même sur les géomètres les plus chevronnés. Une des raisons en est sans doute l’extraordinaire variété des approches possibles pour appréhender ces objets. Les sections de cônes d’Apollonius et les courbes algébriques du moment degré de Descartes en sont deux exemples éloquents. Les noms de Ménechme, d’Archimède, Hypatie, Khayyám, l. a. rent, Kepler, Desargues, Pascal, et de bien d’autres leur sont, aussi, souvent associés. Bruno Ingrao nous donne ici un exposé moderne et unificateur, se plaçant d’emblée dans le cadre de l. a. géométrie projective. L’espace qui nous est le plus familier, celui qu’appréhende notre regard, est certes l’espace affine. Aussi le détour par los angeles « complétion projective » peut-il inquiéter. Mais los angeles puissance et l’efficacité de l’outil utilisé s’imposent rapidement. Dans l’étude projective, los angeles génération homographique est un élément-clef. On comprend grâce à elle pourquoi tant de lieux géométriques s’avèrent être des coniques. Ensuite, l’importance du choix de l. a. droite à l’infini apparaît avec netteté : c’est lui qui détermine los angeles class usuelle en trois grandes familles. l. a. liste des objets associés aux coniques est longue : centres, diamètres, birapport, pôles, polaires, foyers, sommets, axes, directrices… los angeles présentation adoptée permet de situer chacun dans le cadre dont il relève (projectif, affine, euclidien) et donne ainsi une imaginative and prescient claire et simplifiée de ce paysage foisonnant.
Même si l’enseignement secondaire ne leur accorde plus guère de position, les coniques restent un sujet incontournable dans toute véritable formation mathématique. Cet ouvrage rendra donc provider aux élèves des sessions préparatoires scientifiques, aux étudiants en Licence ou de grasp, ainsi qu’aux candidats au CAPES ou à l’agrégation. Mais, bien au delà,ce sont tous les amoureux de l. a. géométrie qui le liront avec passion.
Bruno Ingrao est ancien élève de l’École normale supérieure de Saint-Cloud. Il a été maître de conférences à l’université Blaise-Pascal à Clermont-Ferrand. Aujourd’hui à los angeles retraite, il proceed d’œuvrer pour l. a. diffusion des mathématiques auprès d’un huge public. Il fait notamment partie de l’équipe d’animateurs du crucial website français consacré aux mathématiques (les-mathematiques.net), sur lequel sa grande tradition associée à son expertise pédagogique font merveille.
Mathematics topic class (2000):
14-XX Algebraic geometry
14H-XX Curves
14.20 Algebraic curves, surfaces and exact varieties
51-XX Geometry
51F-XX Metric geometry
51N-XX Analytic and descriptive geometry
51N10 Affine analytic geometry
51N15 Projective analytic geometry
51N20 Euclidean analytic geometry
51N25 Analytic geometry with different transformation groups
51N30 Geometry of classical groups
51A05 basic concept and projective geometries
Table des matières :
Chapitre I. Espaces projectifs
1. Généralités
2. Définition d’un espace projectif
3. Dualité dans les espaces projectifs
4. Les homographies
5. Exercices
Chapitre II. Complétion projective d’un espace affine
1. Définition
2. Une software typique
3. Passage par des abscisses
4. Changements de coordonnées
5. Exercices
Chapitre III. Complétion projective des espaces affines euclidiens
1. Éléments métriques vectoriels complexes
2. Éléments métriques dans le complexifié du plan affine euclidien
3. Exercices
Chapitre IV. L’espace des formes quadratiques sur E
1. Définitions
2. Orthogonalité
3. los angeles réduction des formes quadratiques
Chapitre V. Propriétés projectives des coniques
1. Les coniques du plan projectif
2. Propriétés projectives des coniques propres
3. L’aspect tangentiel des coniques
4. Génération des coniques par homographies
5. Exercices
Chapitre VI. class affine des coniques réelles
1. Introduction
2. type affine des coniques réelles
3. Propriétés affines des coniques à centre
4. Tangentes et asymptotes à une conique à centre
5. Propriétés affines de l. a. parabole
6. Exercices
Chapitre VII. l. a. type métrique des coniques
1. Préliminaire
2. Propriétés focales communes aux coniques propres
3. Étude métrique de l. a. parabole
4. Propriétés bifocales des coniques à centre
5. Étude des propriétés métriques de l’ellipse
6. Propriétés métriques de l’hyperbole
7. Exercices
Chapitre VIII. Diverses purposes de l. a. théorie projective
1. Coniques tangentielles et homographies
2. Les faisceaux de coniques
3. Les homographies sur les coniques
4. Exercices
Chapitre IX. Quelques constructions
1. building de l. a. polaire d’un point
2. development de l’intersection d’une droite et d’une conique
3. Et pour quelques funds de plus
Chapitre X. Les sections coniques
1. Les cônes de révolution
2. Cônes et coniques
3. L’aspect métrique
4. los angeles réciproque
5. Exercices
Chapitre XI. Et l’espace alors ?
1. Introduction
2. Généralités
3. Étude des quadriques propres
4. los angeles type projective des quadriques complexes
5. los angeles type projective des quadriques réelles
6. los angeles category affine des quadriques réelles
7. Aperçu sur les faisceaux de quadriques
Annexe A. Espaces affines et notions associées
1. Espaces affines
2. Espace vectoriel adjoint d’un espace affine
3. Exercices
Annexe B. Complexifié d’un espace vectoriel ou affine réel
1. Le complexifié d’un espace vectoriel
2. Le complexifié d’un espace affine réel
3. Exercices
Annexe C. Formes bilinéaires
1. L’espace des formes bilinéaires sur E
2. Orthogonalité relativement à une forme bilinéaire
Annexe D. Espaces euclidiens
1. Les espaces vectoriels euclidiens
2. Le groupe orthogonal
3. los angeles proposal d’angle orienté
4. Exercices
Annexe E. Le plan affine euclidien
1. L’alignement
2. Les angles
3. Les isométries
4. Les similitudes
5. Complément sur les cercles
6. Cercles orthogonaux
Annexe F. À propos d’un théorème
Annexe G. symptoms et solutions
1. Chapitre I
2. Chapitre II
3. Chapitre III
4. Chapitre V
5. Chapitre VI
6. Chapitre VII
7. Chapitre VIII
Annexe H. Problème de concours général
1. Problème de concours général 1961
Annexe I. Concours d’entrée 2006 à l’École Centrale
Read Online or Download Coniques projectives, affines et métriques : Cours et exercices PDF
Best geometry and topology books
Download PDF by Joram Lindenstrauss, Vitali D. Milman: Geometric Aspects of Functional Analysis
This is often the 3rd released quantity of the court cases of the Israel Seminar on Geometric elements of practical research. the massive majority of the papers during this quantity are unique learn papers. there has been final 12 months a robust emphasis on classical finite-dimensional convexity idea and its reference to Banach house idea.
- Homotopy theory of diagrams
- Normal coordinates in the geometry of paths
- Geometria Diferencial
- Integralgeometrie in der statistischen Physik
- Leçons sur la théorie générale des surfaces
Additional info for Coniques projectives, affines et métriques : Cours et exercices
Sample text
T♦ t❤❡ ❝✉r✈❡ ♦r s✉r❢❛❝❡ ❡q✉❛t✐♦♥s✳ Hermite interpolation ■♥ ❍❡r♠✐t❡ ✐♥t❡r♣♦❧❛t✐♦♥✱ ✇❡ ❞✐✛❡r❡♥t✐❛t❡ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ ❝✉r✈❡ ♦r s✉r❢❛❝❡✱ ❛♥❞ s♦❧✈❡ s✐♠✉❧t❛♥❡♦✉s ❡q✉❛t✐♦♥s ❢♦r ❜♦t❤ ♣♦s✐t✐♦♥ ❛♥❞ t❛♥❣❡♥t ✈❛❧✉❡ ❛t ❡❛❝❤ ♦❢ t❤❡ ♣♦✐♥ts ❜❡✐♥❣ ✐♥t❡r♣♦❧❛t❡❞✳ ❚❤✉s t✇✐❝❡ ❛s ♠❛♥② ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ❛r❡ r❡q✉✐r❡❞ ❛s ✐♥ t❤❡ ▲❛❣r❛♥❣❡ ❝❛s❡✳ ❆ ♣❛r✲ t✐❝✉❧❛r❧② ✐♠♣♦rt❛♥t ❝❛s❡ ✐s ❝♦♥str✉❝t✐♥❣ ❛ ❝✉r✈❡ ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ❡♥❞ ■♥t❡r♣♦❧❛t✐♦♥ ✸✺ ✸✭✐✮✖▲❛❣r❛♥❣❡ ❛♥❞ ❍❡r♠✐t❡ ✐♥t❡r♣♦❧❛t✐♦♥ ✉s❡❞ t♦ ❝♦♥✲ str✉❝t ❛ ♣❛r❛♠❡tr✐❝ ❝✉❜✐❝ ❝✉r✈❡ s❡❣♠❡♥t✳ ♣♦✐♥ts✱ ✇✐t❤ ❦♥♦✇♥ t❛♥❣❡♥t ✈❛❧✉❡s ❛t ❡❛❝❤✳ ❚❤❛t r❡q✉✐r❡s ❛ ❝✉r✈❡ ✇✐t❤ ❢♦✉r ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ✐♥ ❡❛❝❤ ❡q✉❛t✐♦♥✱ ✇❤✐❝❤ ❛r❡ ❝✉❜✐❝s ❀ t❤❡r❡ ✐s ❛❧s♦ ❛♥ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t ♣❛t❝❤ ✇❤✐❝❤ r✉♥s ❜❡t✇❡❡♥ ❢♦✉r ❝♦r♥❡r ♣♦✐♥ts✱ ❛♥❞ ❤❛s ✶✻ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts✳ ❈✉❜✐❝s ❛r❡ ❢r❡q✉❡♥t s✐❣❤t✐♥❣s ✐♥ ❝♦♠♣✉t✐♥❣ ✇✐t❤ ❣❡♦♠❡tr②✿ s❡❡ ■❧❧✉str❛t✐♦♥ ✸✭✐✮✳ The problem of parameterization ■♥t❡r♣♦❧❛t✐♥❣ ♣❛r❛♠❡tr✐❝ ❝✉r✈❡s✱ ❞❡❝✐❞✐♥❣ ✇❤❛t t❤❡ ♣❛r❛♠❡t❡r ✈❛❧✲ ✉❡s ❛t ❡❛❝❤ ♣♦✐♥t ✇✐❧❧ ❜❡✖t❤❡ ✐ss✉❡ ♦❢ ♣❛r❛♠❡t❡r✐③❛t✐♦♥✖✐s ❝r✉❝✐❛❧✳ ✭❚❤❛t ✐s ❛ ♣r♦❜❧❡♠ t❤❛t ❞♦❡s ♥♦t ♦❝❝✉r ✇✐t❤ ❡①♣❧✐❝✐t✱ s✐♥❣❧❡✲✈❛❧✉❡❞✱ ❝✉r✈❡s ❛♥❞ s✉r❢❛❝❡s✿ ❛♥❞ s♦ ✇❡ ❝❛♥ s❡❡ ✇❤② t❤❡s❡ ❛r❡ ♣r❡❢❡rr❡❞ ❢♦r ❞r❛✇✐♥❣ ❣r❛♣❤s ❛♥❞ s♦ ♦♥✳ ❆♥❞ t❡❝❤♥✐q✉❡s ❢r♦♠ ❵❣r❛♣❤✐♥❣✬ ❛♣♣❧✐❝❛✲ t✐♦♥s ✉s✉❛❧❧② ❡①♣❧♦✐t t❤✐s ❧✐♠✐t❛t✐♦♥✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ✇❤② ✇❡ s❤♦✉❧❞ ❜❡ ✇❛r② ♦❢ tr②✐♥❣ t♦ tr❛♥s♣❧❛♥t t❤❡♠ t♦ ♠♦r❡ ❣❡♥❡r❛❧ ❣❡♦♠❡tr✐❝ ♣r♦❜❧❡♠s✳✮ ❙♦✱ t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ ✇✐t❤ ✐♥t❡r♣♦❧❛t✐♥❣ ♣❛r❛♠❡tr✐❝ ❝✉r✈❡s ✐s t❤❛t✱ ✇❤✐❧❡ t❤❡ ♣♦s✐t✐♦♥s ❛♥❞ t❛♥❣❡♥t ❞✐r❡❝t✐♦♥s ♠❛② ❜❡ ♣r♦✈✐❞❡❞✱ ✇❡ ❤❛✈❡ t♦ ❡st✐♠❛t❡ t❤❡ ♣❛r❛♠❡t❡r ✈❛❧✉❡s t❤❛t t❤❡ ❝✉r✈❡ ❵s❤♦✉❧❞✬ ❤❛✈❡ ✇❤❡♥ ✐t ♣❛ss❡s ❡❛❝❤ ♣♦✐♥t✱ ❛♥❞ t❤❡ ♠❛❣♥✐t✉❞❡ ❛s ✇❡❧❧ ❛s ❞✐r❡❝t✐♦♥ ♦❢ ❞❡r✐✈❛✲ t✐✈❡s✳ ■♥ t❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ ▲❛❣r❛♥❣❡ ✐♥t❡r♣♦❧❛t✐♦♥✱ t❤❡ s✐♠♣❧❡st ❝❤♦✐❝❡ ✐s t♦ s♣❛❝❡ ♣❛r❛♠❡tr✐❝ ✈❛❧✉❡s ❡q✉❛❧❧② ❜❡t✇❡❡♥ ♣♦✐♥t ❞❛t❛✳ ❚❤✐s ✇♦r❦s ✐❢ t❤❡ ♣♦✐♥ts ❛r❡ t❤❡♠s❡❧✈❡s q✉✐t❡ ❡✈❡♥❧② s♣❛❝❡❞❀ ♦t❤❡r✇✐s❡ s♦♠❡✲ t❤✐♥❣ ❜❡tt❡r ✐s ♥❡❡❞❡❞✳ ❙✐♥❝❡ ♣❛r❛♠❡t❡r✐③❛t✐♦♥ ✐s r❡❧❛t❡❞ t♦ ❝✉r✈❡ ❛r❛♠❡tr✐❝ ❝✉r✈❡s ❛♥❞ s✉r❢❛❝❡s ✸✻ ❧❡♥❣t❤✱ ✇❡ ✇♦✉❧❞ ❧✐❦❡ t♦ ❦♥♦✇ ✇❤❛t t❤❡ ❧❡♥❣t❤ ♦❢ t❤❡ ❝✉r✈❡ ✇✐❧❧ ❜❡ ❜❡t✇❡❡♥ ❡❛❝❤ ❞❛t❛ ♣♦✐♥t❀ ❜✉t t❤❛t ✐s ♣✉tt✐♥❣ t❤❡ ❝❛rt ❜❡❢♦r❡ t❤❡ ❤♦rs❡✱ ❜❡❝❛✉s❡ ✇❡ ❤❛✈❡♥✬t ❣♦t t❤❡ ❝✉r✈❡ ②❡t✳ ❖♥❡ ❝♦✉❧❞ ✐♠♣❧❡♠❡♥t ❛ t❡❝❤♥✐q✉❡ ♦❢ s✉❝❝❡ss✐✈❡ r❡✜♥❡♠❡♥t✖s❡t ✉♣ ♦♥❡ ❝✉r✈❡✱ ❣❡t t❤❡ ❝✉r✈❡ ❧❡♥❣t❤s ❢r♦♠ ✐t✱ ❛♥❞ t❤✉s ♦❜t❛✐♥ ♥❡✇ ♣❛r❛♠❡t❡r ✈❛❧✉❡s ❛t t❤❡ ❞❛t❛ ♣♦✐♥ts✱ ❛♥❞ r❡♣❡❛t t❤❡ ❡①❡r❝✐s❡✖❜✉t t❤✐s r✐❣♠❛r♦❧❡ ✐s ♥♦t ✉s✉❛❧❧② ❛t✲ t❡♠♣t❡❞❀ ✐t ✇♦✉❧❞ ♣r♦❜❛❜❧② ❜❡ ❞✐✣❝✉❧t ❡✈❡♥ t♦ ♣r♦✈❡ t❤❛t ✐t ✇♦✉❧❞ ❝♦♥✈❡r❣❡✳ ❚❤❡ ✉s✉❛❧ s♦❧✉t✐♦♥ ✐s ❝❤♦r❞✲❧❡♥❣t❤ ♣❛r❛♠❡t❡r✐③❛t✐♦♥✱ ✇❤❡r❡ t❤❡ ♣❛r❛♠❡t❡r ✈❛❧✉❡s ❛t t❤❡ ♣♦✐♥ts ❛r❡ ❜❛s❡❞ ♦♥ t❤❡ ❧❡♥❣t❤s ♦❢ t❤❡ str❛✐❣❤t✲❧✐♥❡ s❡❣♠❡♥ts ❝♦♥♥❡❝t✐♥❣ t❤❡♠✳ ❚❤✐s ✐s ❛ ❣♦♦❞ ✇♦r❦❤♦rs❡✱ ❣✐✈✐♥❣ tr♦✉❜❧❡ ♦♥❧② ✇❤❡♥ t❤❡r❡ ❛r❡ ❛❜r✉♣t ❵❝♦r♥❡rs✬ ✐♠♣❧✐❡❞ ❜② t❤❡ ❞❛t❛✱ ❛♥❞ ❝❤❛♥❣❡s ♦❢ s♣❛❝✐♥❣✳ ❋✉rt❤❡r r❡✜♥❡♠❡♥ts ✐♥✈♦❧✈❡ t❛❦✐♥❣ t❤❡ ❛♥❣❧❡ ❜❡t✇❡❡♥ s✉❝❝❡ss✐✈❡ s♣❛♥s ✐♥t♦ ❛❝❝♦✉♥t ✭s❡❡ ❋❛r✐♥✬s ❜♦♦❦ ❈✉r✈❡s ❛♥❞ ❙✉r❢❛❝❡s ❢♦r ❈♦♠♣✉t❡r ❆✐❞❡❞ ●❡♦♠❡tr✐❝ ❉❡s✐❣♥ ❢♦r ♠♦r❡ ❞❡t❛✐❧✮✳ ❲✐t❤ ❍❡r♠✐t❡ ✐♥t❡r♣♦❧❛t✐♦♥✱ s✐♠✐❧❛r ♣r♦❜❧❡♠s ♦❝❝✉r❀ ❛♥❞ ✐t ♠✉st ❜❡ r❡♠❡♠❜❡r❡❞ t❤❛t ♠❛❣♥✐t✉❞❡s ♦❢ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡s ♦❢ t❤❡ ❢♦r♠ dx dt ❡t❝✳✱ ❛r❡ r❡❧❛t❡❞ t♦ t❤❡ ❛❝t✉❛❧ s✐③❡ ♦❢ t❤❡ ❝✉r✈❡ ✐♥ t❤❡ ✉♥✐ts ♦❢ ❧❡♥❣t❤ ❜❡✐♥❣ ✉s❡❞✳ ❚❤✉s✱ ✐❢ ✇❡ s❝❛❧❡ ❛ ❝✉r✈❡ ❜② s❝❛❧✐♥❣ t❤❡ ✈❛❧✉❡s ♦❢ ✐ts ❍❡r♠✐t❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts✱ ✇❡ ♠✉st s❝❛❧❡ t❤❡ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡s ❡①♣❧✐❝✐t❧②✳ ❚❤❛t✬s ❡❛s② ❡♥♦✉❣❤ ❢♦r ❛ s✐♠♣❧❡ s❝❛❧✐♥❣✱ ❜✉t ✇❤❛t ❛❜♦✉t ❛ s❤❡❛r tr❛♥s❢♦r♠❄ ❆❧❧ t❤❡s❡ r❡♠❛r❦s ❤❛✈❡ ❜❡❡♥ ❛❞❞r❡ss❡❞ t♦ t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ ♦❢ ✐♥t❡r✲ ♣♦❧❛t✐♦♥✱ ❜✉t ❛❧s♦ ❛♣♣❧② t♦ ❝✉r✈❡ ✜tt✐♥❣✳ ❆❣❛✐♥✱ t❤✐s ✐s ❛ ♣r♦❝❡ss t❤❛t ✇♦r❦s ✇❡❧❧ ✇✐t❤ ❡①♣❧✐❝✐t ❣❡♦♠❡tr②✱ ❛♥❞ ❢❛✐r❧② ✇❡❧❧ ✇✐t❤ ✐♠♣❧✐❝✲ ✐ts ✭❡①❝❡♣t t❤❛t ♥♦r♠❛❧✐③❛t✐♦♥ ❝❛✉s❡s ❛ ♣r♦❜❧❡♠✮✳ ❲✐t❤ ♣❛r❛♠❡tr✐❝ ❣❡♦♠❡tr②✱ ✇❡ ❛❣❛✐♥ ❤❛✈❡ t♦ ❞❡❝✐❞❡ ✐♥ ❛❞✈❛♥❝❡ ✇❤❛t ♣❛r❛♠❡t❡r ✈❛❧✉❡ ❡❛❝❤ ♣♦✐♥t ✇✐❧❧ ❝♦rr❡s♣♦♥❞ t♦✳ ❇✉t ✐❢ t❤❡ ♣♦✐♥ts ❛r❡ ❛t ❛❧❧ ❞❡♥s❡✱ t❤✐s ✐s ❞✐✣❝✉❧t✿ ❝❤♦r❞✲❧❡♥❣t❤ ♣❛r❛♠❡t❡r✐③❛t✐♦♥ ✐s ❝❡rt❛✐♥❧② ✉s❡❧❡ss✳ ❲❡ ❝♦♥❝❧✉❞❡ t❤✐s s❡❝t✐♦♥ ✇✐t❤ ❈ ❝♦❞❡ ❢♦r ▲❛❣r❛♥❣❡ ❛♥❞ ❍❡r♠✐t❡ ✐♥t❡r♣♦❧❛t✐♦♥✳ ❚❤❡ ✜rst ♣r♦❝❡❞✉r❡ ✇♦r❦s ♦✉t t❤❡ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ✐♥t❡r✲ ♣♦❧❛t✐♥❣ ❝✉❜✐❝ ♣❛r❛♠❡tr✐❝ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ t❤r♦✉❣❤ ❢♦✉r ♣♦✐♥ts ✐♥ t❤r❡❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥s✳ ❚❤❡ ♣♦✐♥ts ✇✐❧❧ ❜❡ s✉♣♣❧✐❡❞ ✐♥ ♣①✱ ♣②✱ ❛♥❞ ♣③✳ ❚❤❡ 0✱ ❛♥❞ t❤❡ ♣❛r❛♠✲ ♣❛r❛♠❡t❡r ♦♥ t❤❡ ❝✉r✈❡ ❛t t❤❡ ✜rst ♣♦✐♥t ✇✐❧❧ ❜❡ 1❀ t❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ♦❢ t❤❡ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ✇✐❧❧ ❜❡ ♣♦❧②①✱ ♣♦❧②②✱ ❛♥❞ ♣♦❧②③❀ ♣♦❧②①❬✸❪ ✐s t❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥t ♦❢ ❡t❡r ❛t t❤❡ ❧❛st ♣♦✐♥t r❡t✉r♥❡❞ ✐♥ ■♥t❡r♣♦❧❛t✐♦♥ t3 ✐♥ x ✸✼ ❛♥❞ s♦ ♦♥✳ ❚❤❡ ♣❛r❛♠❡t❡r ✈❛❧✉❡s ❛t t❤❡ ♠✐❞❞❧❡ t✇♦ ♣♦✐♥ts ♦♥ t❤❡ ❝✉r✈❡ ✇✐❧❧ ❜❡ r❡t✉r♥❡❞ ✐♥ t✶ ❛♥❞ t✷✳ ★✐♥❝❧✉❞❡ ❁♠❛t❤✳❤❃ ★✐♥❝❧✉❞❡ ❁st❞✐♦✳❤❃ ✴✯ ❆❜s♦❧✉t❡ ✈❛❧✉❡ ♠❛❝r♦ ✯✴ ★❞❡❢✐♥❡ ❢❛❜s✭❛✮ ✭✭✭❛✮ ❁ ✵✳✵✮ ❄ ✭✲✭❛✮✮ ✿ ✭❛✮✮ ✴✯ ❆❧♠♦st ✵ ✲ ❛❞❥✉st ❢♦r ②♦✉r ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ ✯✴ ★❞❡❢✐♥❡ ❆❈❈❨ ✭✶✳✵❡✲✻✮ ✐♥t ❧❛❣r❛♥❣❡✭♣①✱♣②✱♣③✱t✶✱t✷✱♣♦❧②①✱♣♦❧②②✱♣♦❧②③✮ ❢❧♦❛t ♣①❬✹❪✱♣♦❧②①❬✹❪❀ ❢❧♦❛t ♣②❬✹❪✱♣♦❧②②❬✹❪❀ ❢❧♦❛t ♣③❬✹❪✱♣♦❧②③❬✹❪❀ ❢❧♦❛t ✯t✶✱✯t✷❀ ④ ❢❧♦❛t ①❞✱②❞✱③❞✱❞❢❧❀ ✐♥t ✐❀ ✴✯ ✯✴ ❙✉♠ t❤❡ ❞✐st❛♥❝❡s ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ♣♦✐♥ts t♦ ✉s❡ t♦ s❝❛❧❡ t✶ ❛♥❞ t✷✳ ◆♦t❡ t❤❡ ❡①tr❡♠❡❧② t✐r❡s♦♠❡ ❝❛st✐♥❣ t❤❛t ♥❡❡❞s t♦ ❜❡ ❞♦♥❡ ❜❡❝❛✉s❡ ❛❧❧ ♦❢ t❤❡ st❛♥❞❛r❞ ❈ ♠❛t❤s ❧✐❜r❛r② ✐s ✐♥ ❞♦✉❜❧❡s✳ ❞❢❧ ❂ ✵✳✵❀ ❢♦r✭✐ ❂ ✶❀ ✐ ❁ ✹❀ ✐✰✰✮ ④ ①❞ ❂ ♣①❬✐❪ ✲ ♣①❬✐✲✶❪❀ ②❞ ❂ ♣②❬✐❪ ✲ ♣②❬✐✲✶❪❀ ③❞ ❂ ♣③❬✐❪ ✲ ♣③❬✐✲✶❪❀ ❞❢❧ ❂ ❞❢❧ ✰ ✭❢❧♦❛t✮sqrt✭✭❞♦✉❜❧❡✮ ✭①❞✯①❞ ✰ ②❞✯②❞ ✰ ③❞✯③❞✮✮❀ ❛r❛♠❡tr✐❝ ❝✉r✈❡s ❛♥❞ s✉r❢❛❝❡s ✸✽ ⑥ ✐❢ ✭✐ ❂❂ ✶✮ ✯t✶ ❂ ❞❢❧❀ ✐❢ ✭✐ ❂❂ ✷✮ ✯t✷ ❂ ❞❢❧❀ ✐❢ ✭❞❢❧ ❁ ❆❈❈❨✮ ④ ❢♣r✐♥t❢✭st❞❡rr✱ ✧▲❛❣r❛♥❣❡✿ ❝✉r✈❡ t♦♦ s❤♦rt✿ ✪❢❭♥✧✱❞❢❧✮❀ r❡t✉r♥✭✶✮❀ ⑥ ✯t✶ ❂ ✯t✶✴❞❢❧❀ ✯t✷ ❂ ✯t✷✴❞❢❧❀ ✴✯ ✯✴ ❈❛❧❧ t❤❡ ♣r♦❝❡❞✉r❡ t♦ ❝♦♠♣✉t❡ t❤❡ ❝♦❡❢❢✐❝✐❡♥ts ✐♥ ❡❛❝❤ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡✳ ✐❢✭❧❛❣r❛♥❣❡❴❝♦❡❢❢s✭♣①✱♣♦❧②①✱t✶✱t✷✮✮ r❡t✉r♥✭✷✮❀ ✐❢✭❧❛❣r❛♥❣❡❴❝♦❡❢❢s✭♣②✱♣♦❧②②✱t✶✱t✷✮✮ r❡t✉r♥✭✸✮❀ ✐❢✭❧❛❣r❛♥❣❡❴❝♦❡❢❢s✭♣③✱♣♦❧②③✱t✶✱t✷✮✮ r❡t✉r♥✭✹✮❀ r❡t✉r♥✭✵✮❀ ⑥ ✴✯ ❧❛❣r❛♥❣❡ ✯✴ ✴✯ ✯✴ r♦❝❡❞✉r❡ t♦ ❝♦♠♣✉t❡ t❤❡ ❝♦❡❢❢✐❝✐❡♥ts ✐♥ ♦♥❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ❝✉❜✐❝ t❤r♦✉❣❤ ❢♦✉r ♣♦✐♥ts✳ ❚❤❡ ❝♦❞❡ r❡❢❧❡❝ts t❤❡ ❛❧❣❡❜r❛✳ ✐♥t ❧❛❣r❛♥❣❡❴❝♦❡❢❢s✭♣✱♣♦❧②✱t✶✱t✷✮ ❢❧♦❛t ♣❬✹❪✱♣♦❧②❬✹❪❀ ❢❧♦❛t ✯t✶✱✯t✷❀ ④ ❢❧♦❛t ❞✶✱❞✷✱❞✸✱t✶s✱t✷s✱t✶❝✱t✷❝✱❞❡♥♦♠✱tt❀ ■♥t❡r♣♦❧❛t✐♦♥ ✸✾ ❞✶ ❂ ♣❬✶❪ ✲ ♣❬✵❪❀ ❞✷ ❂ ♣❬✷❪ ✲ ♣❬✵❪❀ ❞✸ ❂ ♣❬✸❪ ✲ ♣❬✵❪❀ t✶s ❂ ✭✯t✶✮✯✭✯t✶✮❀ t✷s ❂ ✭✯t✷✮✯✭✯t✷✮❀ t✶❝ ❂ t✶s✯✭✯t✶✮❀ t✷❝ ❂ t✷s✯✭✯t✷✮❀ ❞❡♥♦♠ ❂ ✭t✷s ✲ ✭✯t✷✮✮✯t✶❝❀ ✐❢ ✭❢❛❜s✭❞❡♥♦♠✮ ❁ ❆❈❈❨✮ ④ ❢♣r✐♥t❢✭st❞❡rr✱ ✧▲❛❣r❛♥❣❡❴❝♦❡❢❢s✿ ✐♥❝r❡♠❡♥ts t♦♦ s❤♦rt✿ ✪❢❭♥✧✱ ❞❡♥♦♠✮❀ r❡t✉r♥✭✶✮❀ ⑥ tt ❂ ✭✲t✷❝ ✰ ✭✯t✷✮✮✯t✶s ✰ ✭t✷❝ ✲ t✷s✮✯✭✯t✶✮❀ ♣♦❧②❬✸❪ ❂ ✭❞✸✯✭✯t✷✮ ✲ ❞✷✮✯t✶s ✰ ✭✲❞✸✯t✷s ✰ ❞✷✮✯✭✯t✶✮ ✰ ❞✶✯t✷s ✲ ❞✶✯✭✯t✷✮✴❞❡♥♦♠ ✰ tt❀ ♣♦❧②❬✷❪ ❂ ✭✲❞✸✯✭✯t✷✮ ✰ ❞✷✮✯t✶❝ ✰ ✭❞✸✯t✷❝ ✲ ❞✷✮✯✭✯t✶✮ ✰ ❞✶✯t✷❝ ✰ ❞✶✯✭✯t✷✮✴❞❡♥♦♠ ✰ tt❀ ♣♦❧②❬✶❪ ❂ ✭❞✸✯t✷s ✲ ❞✷✮✯t✶❝ ✰ ✭✲❞✸✯t✷❝ ✰ ❞✷✮✯t✶s ✰ ❞✶✯t✷❝ ✲ ❞✶✯t✷s✴❞❡♥♦♠ ✰ tt❀ ♣♦❧②❬✵❪ ❂ ♣❬✵❪❀ r❡t✉r♥✭✵✮❀ ⑥ ✴✯ ❧❛❣r❛♥❣❡❴❝♦❡❢❢s ✯✴ ❚❤❡ s❡❝♦♥❞ ♣r♦❝❡❞✉r❡ ❝♦♠♣✉t❡s t❤❡ ❍❡r♠✐t❡ ✐♥t❡r♣♦❧❛♥t ✐♥ t❤r❡❡ ❛r❛♠❡tr✐❝ ❝✉r✈❡s ❛♥❞ s✉r❢❛❝❡s ✹✵ ❞✐♠❡♥s✐♦♥s t❤r♦✉❣❤ t✇♦ ♣♦✐♥ts ✇✐t❤ t✇♦ ❣r❛❞✐❡♥t ✈❡❝t♦rs ❛t t❤❡ ❡♥❞s✳ ❚❤❡ ♣♦✐♥ts ❛r❡ ♣✵ ❛♥❞ ♣✶✱ ❛♥❞ t❤❡ ❣r❛❞✐❡♥ts ❛r❡ ❣✵ ❛♥❞ ❣✶✳ ❚❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ♦❢ t❤❡ ✐♥t❡r♣♦❧❛t✐♥❣ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ❛r❡ r❡t✉r♥❡❞ ✐♥ ♣♦❧②①✱ ♣♦❧②②✱ ❛♥❞ ♣♦❧②③✳ ❚❤❡ ❛❧❣❡❜r❛ ✐♥ t❤✐s ❝❛s❡ ✐s ♠✉❝❤ s✐♠♣❧❡r t❤❛♥ t❤❛t ❢♦r ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ✐♥t❡r♣♦❧❛t✐♦♥✳ ✈♦✐❞ ❤❡r♠✐t❡✭♣✵✱♣✶✱❣✵✱❣✶✱♣♦❧②①✱♣♦❧②②✱♣♦❧②③✮ ❢❧♦❛t ♣✵❬✸❪✱♣✶❬✸❪✱❣✵❬✸❪✱❣✶❬✸❪❀ ❢❧♦❛t ♣♦❧②①❬✹❪✱♣♦❧②②❬✹❪✱♣♦❧②③❬✹❪❀ ④ ✈♦✐❞ ❤❡r♠✐t❡❴❝♦❡❢❢s✭✮❀ ❤❡r♠✐t❡❴❝♦❡❢❢s✭♣✵❬✵❪✱♣✶❬✵❪✱❣✵❬✵❪✱❣✶❬✵❪✱♣♦❧②①✮❀ ❤❡r♠✐t❡❴❝♦❡❢❢s✭♣✵❬✶❪✱♣✶❬✶❪✱❣✵❬✶❪✱❣✶❬✶❪✱♣♦❧②②✮❀ ❤❡r♠✐t❡❴❝♦❡❢❢s✭♣✵❬✷❪✱♣✶❬✷❪✱❣✵❬✷❪✱❣✶❬✷❪✱♣♦❧②③✮❀ ⑥ ✴✯ ❤❡r♠✐t❡ ✯✴ ✈♦✐❞ ❤❡r♠✐t❡❴❝♦❡❢❢s✭♣✵✱♣✶✱❣✵✱❣✶✱♣♦❧②✮ ❢❧♦❛t ♣✵✱♣✶✱❣✵✱❣✶❀ ❢❧♦❛t ♣♦❧②❬✹❪❀ ④ ❢❧♦❛t ❞✱❣❀ ❞ ❂ ♣✶ ✲ ♣✵ ✲ ❣✵❀ ❣ ❂ ❣✶ ✲ ❣✵❀ ♣♦❧②❬✵❪ ♣♦❧②❬✶❪ ♣♦❧②❬✷❪ ♣♦❧②❬✸❪ ❂ ❂ ❂ ❂ ♣✵❀ ❣✵❀ ✸✳✵✯❞ ✲ ❣❀ ✲✷✳✵✯❞ ✰ ❣❀ ⑥ ✴✯ ❤❡r♠✐t❡❴❝♦❡❢❢s ✯✴ Surface patches ❙✉r❢❛❝❡ ♣❛t❝❤❡s ✹✶ Q = F(t, u) 0 ≤ t ≤ 1, 0 ≤ u ≤ 1✳ ✸✭✐✐✮✖❆ ♣❛r❛♠❡tr✐❝ ♣❛t❝❤ ✐♥t❡r✈❛❧ ❞❡✜♥❡❞ ♦✈❡r t❤❡ ❙✉r❢❛❝❡ ♣❛t❝❤❡s ❛r❡ ♣❛r❛♠❡tr✐❝ s✉r❢❛❝❡s ♦❢ t❤❡ ❢♦r♠ x = f1 (t, u) y = f2 (t, u) z = f3 (t, u) ✭✇❤✐❝❤ ✇❡ ❝❛♥ ❛❧s♦ ✇r✐t❡ ✇✐t❤ ✈❡❝t♦r ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ✱ ❛s Q = F(t, u) ❛ ♣❛♣❡r✲s❛✈✐♥❣ ♠❡❛s✉r❡ t❤❛t ✇✐❧❧ ❜❡ ✐♥❝r❡❛s✐♥❣❧② ✉s❡❞ ✐♥ t❤✐s ❝❤❛♣t❡r✮✳ ❆ ♣❛t❝❤ ❝❛♥ ❜❡ ❞❡✜♥❡❞ ♦✈❡r ❛♥② ♣❛r❛♠❡tr✐❝ ♣♦rt✐♦♥ ♦❢ t❤❡ (t, u) ♣❛r❛♠❡t❡r s♣❛❝❡ ✱ ❜✉t ✐s ❡❛s✐❡st t♦ ❞❡❛❧ ✇✐t❤ ♦✈❡r t❤❡ t✇♦✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ✐♥t❡r✈❛❧✿ 0≤ t ≤1 0 ≤ u ≤ 1.
Dt ❚❤❡ ❝✉r✈❛t✉r❡ ♦❢ ❛ ♣❛r❛♠❡tr✐❝ ❝✉r✈❡ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❢♦r✲ ♠✉❧❛✱ ✇❤✐❝❤ ✐♥✈♦❧✈❡s ❛ ✈❡❝t♦r ♣r♦❞✉❝t ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ✜rst ❛♥❞ s❡❝♦♥❞ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡s✿ dQ × d2 Q .
T✱ ❢♦r ❛♥② ✜①❡❞ ✈❛❧✉❡ ♦❢ t ♦r u✱ ✇❡ ❣❡t ♦✉t ❛ ❝✉❜✐❝ ✐s♦✲♣❛r❛♠❡tr✐❝ ❝✉r✈❡ ✐♥ t❤❡ ♦t❤❡r ♣❛r❛♠❡t❡r✳ ❆s ✇❡❧❧ ❛s ❦♥♦✇✐♥❣ t❤❡ ♣♦s✐t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ❝✉r✈❡s✱ ✇❡ ♥❡❡❞ t♦ ♠❛t❝❤ t❛♥❣❡♥ts✖❛♥❞ ♠❛②❜❡ ❤✐❣❤❡r ❞❡r✐✈❛t✐✈❡s✱ r❛❞✐✉s ♦❢ ❝✉r✈❛✲ t✉r❡ ❡t❝✳✖ ❛❝r♦ss t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r✐❡s✳ t❛♥❣❡♥t ❛❝r♦ss t❤❡ u=0 ❞✐✛❡r❡♥t✐❛t❡ ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ ∂x = ∂u + + + ❚❤❡♥ s❡t u=0 ▲❡t✬s ✜♥❞ ❛♥ ❡①♣r❡ss✐♦♥ ❢♦r t❤❡ ❡❞❣❡ ♦❢ ❛ ❈❛rt❡s✐❛♥ ♣r♦❞✉❝t ♣❛t❝❤✳ ❋✐rst u✿ 3a0 t3 u2 + 2a1 t3 u + a2 t3 3a4 t2 u2 + 2a5 t2 u + a6 t2 3a8 tu2 + 2a9 tu + a10 t 3a12 u2 + 2a13 u + a14 .
Coniques projectives, affines et métriques : Cours et exercices by Bruno Ingrao
by Christopher
4.4