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En effet, il faut d’abord tenir compte de la profonde révolution que connut la physique : relativité, théorie quantique, relativité générale. Comme les progrès de la logique, ces découvertes débordent du cadre de la science, et elles ont exigé de nouvelles habitudes de pensée. Une autre raison de cette coupure entre les problèmes de la physique mathématique tels que Hilbert les envisage et leur développement effectif, c’est qu’à aucun moment il n’ait pressenti que de nouveaux outils seront introduits, issus de l’analyse, et qui contribueront au renouvellement complet du formalisme.

Cette question fut aussi la première à être résolue, puisque, l’année même du congrès de Paris, M. Dehn, un étudiant de Hilbert, démontrait qu’on ne pouvait pas décomposer un cube et un tétraèdre régulier de même volume en un nombre fini de polyèdres deux à deux identiques. Dans le même ordre d’idées, le quatrième problème suggère l’étude de toutes les géométries pour lesquelles la plus courte distance entre deux points est réalisée par les segments de droite (géométries construites sur des sous-ensembles de l’espace projectif).

L’existence de nombres transcendants avait été prouvée par Liouville ; puis Hermite et Lindemann avaient respectivement montré la transcendance de e et de π. Hilbert propose de montrer la transcendance de ab, pour a algébrique et b irrationnel. Exemple : Cette question, dont la solution a valu à juste titre la célébrité à Gelfond, est considérée comme résumant le septième problème. Il est cependant intéressant de remarquer que Hilbert suggère l’étude plus générale des valeurs prises par des fonctions transcendantes pour des valeurs algébriques de la variable.

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