By Manfred Denker
ISBN-10: 3540207139
ISBN-13: 9783540207139
Dynamische Systeme stellen einen unverzichtbaren Bestandteil mathematischer Modellbildung für Anwendungen aller paintings dar, angefangen von Physik über Biologie bis hin zur Informatik. Dieser Band führt in diese Theorie ein und beschreibt Methoden und Dynamiken, wie sie für eine systematische Modellbildung auch in den Anwendungen notwendig erscheinen. Wesentliche Grundzüge der Theorie werden beispielhaft im ersten Kapitel erläutert. Es schließt sich eine Einführung in niedrig-dimensionale Dynamiken an (u.a. purpose Funktionen), gefolgt von topologischer Dynamik (z.B. Attraktoren, Entropie und chaotisches Verhalten), differenzierbarer Dynamik (z.B. Liapunoff-Exponenten, Strukturstabilität und Hyperbolizität), Ergodentheorie (z.B. Ergodensätze, invariante Maße, Konservativität) und schließlich thermodynamischer Formalismus (z.B. Gibbs-Theorie, Zetafunktionen).
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Example text
Es gilt offenbar f (Mj ) ⊃ Mj und Mj ↑ Of (x). Sei konv (Mj ) = [aj , bj ]. Es gilt [a0 , b0 ] = [xm , xm+1 ] = J und [a1 , b1 ] = [f (xm+1 ), xm+1 ]. Sei j ≥ 2 der kleinste Index mit der Eigenschaft aj < aj−1 < bj−1 < bj . Dann ist entweder aj−1 = aj−2 oder bj−2 = bj−1 . E. gelte der erste Fall. Es folgt T ([aj−2 , bj−2 ]) ⊂ (aj , bj ) nach Konstruktion von Mj , also u ¨berdeckt das Bild von [bj−2 , bj−1 ] das Intervall [aj , bj ] ⊃ J. Da J ⊂ T (J) gilt, gibt es also periodische Punkte y, z ∈ J ⊂ [a1 , b1 ] mit T j−2 (y) ∈ [bj−2 , bj−1 ], T j−1 (y) = y und T j−1 (z) ∈ [bj−2 , bj−1 ], T j (z) = z.
Wegen der Aquivalenz zum Lebesgue-Maß ist m auch exakt. Es gibt einen wichtigen Zusammenhang der Gauß-Abbildung zur hyperbolischen Geometrie (s. [4], Kapitel 3) und zum geod¨atischen Fluss, der nun dargestellt werden soll. Die obere Halbebene H := {z ∈ C : ℑz > 0} der d|z|2 komplexen Ebene besitzt die hyperbolische Metrik ds2 = (ℑz) 2 . Sie wird die Poincar´esche Halbebene genannt (auch gebr¨auchlich ist die Bezeichnung Lobaschewski-Ebene). Man kann die Riemannsche Metrik direkt durch u, v z = ℜuv (ℑz)2 u, v ∈ Tz H ≡ C angeben.
Proposition 4. Der geod¨ atische Fluss kommutiert mit der Operation der M¨ obius-Transformationen auf SH. atische Fluss, φt (z, v) = (z(t), v(t)). Eine M¨obiusBeweis. Sei φt der geod¨ Transformation g bildet geod¨ atische Linien wieder in solche ab. Also geh¨ort atischen, die durch g((z, v)) definiert ist. Sei τ ∈ R so g(φt (z, v)) zur Geod¨ bestimmt, dass g(φt (z, v)) = φτ (g((z, v))). Da g ebenfalls eine Isometrie in der hyperbolischen Metrik ist, besitzt g(φt (z, v)) den hyperbolischen Abstand t von g((z, v)).
EinfГјhrung in die Analysis dynamischer Systeme by Manfred Denker
by Jeff
4.5