By N. Bourbaki
ISBN-10: 3540353194
ISBN-13: 9783540353195
Les Éléments de mathématique de Nicolas Bourbaki ont pour objet une présentation rigoureuse, systématique et sans prérequis des mathématiques depuis leurs fondements.
Ce sixième chaptire du Livre d Intégration, sixième Livre des éléments de mathématique, étend l. a. concept d intégration à des mesure à valeurs dans des espaces vectoriels de Hausdorff localement convexes.
Il contient également une word historique.
Ce quantity est une réimpression de l édition de 1959.
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2) Soient B' un espace localement compact, v' une mesure positive sur B' ; prenons pour T l'espace B x B' e t pour p la mesure v @ v l ; si p est la projection de T sur B, v est pseudo-image de p par p (chap. V, $ 8, no 2, cor. 8 de la prop. 5 e t no 1 , cor. de la prop. 2). v On notera que si v est une mesure pseudo-image de p par p, est portée par p(T). Si v est pseudo-image de p par p , l'ensemble des mesures pseudo-images de p par p est la classe des mesures positives équivalentes à v, e t toute mesure positive équivalente à p adrnet les mêmes mesures pseudo-images par p.
F' appartienne à (m(B))O, il faut et il s u f i t que I(z', m ( s ) ) l = lJ gd(z o m ' )I < 1 pour toute fonction g E B, ce qui signifie que l a mesure scalaire 1 z' m 1 est bornée et de norme Q 1 (chap. I I I , $ 2, no 6, prop. 3) ; mais d'après (2) cette dernière condition entraîne (a', m(f)) 1 < 1 pour toute fonction f E -4, d'où z' E (m(A))O. 0 1 COROLLAIRE 1. - S i , pour toute partie compacte K de T , l'image par m de l'ensemble des f E 31(T7K) telles que sup / f(t) 1 < 1 t ET est relativement faiblement compacte dans F, alors on a pour toute fonction f Jfdm E E J meF %(m) bornée et à support compact, et FI1 pour loute fonction f E 'l(m).
L m I , ou h ~ % C ( I r n e[ t) Ih(t)I = 1 localement presque partout pour 1 m [ (no 4, prop. 9). Les supports de m e t de 1 nz [ sont les mêmes. Pour toute application f de T dans un espace de Banach complexe F, essentiellement intégrable par rapport à 1 rn 1, on peut définir (no 7) l'intégrale de f par rapport à m (correspondant à l'application R-bilinéaire (x, h) -+ hx de F x C dans F), 1 xi = + qu'on notera [fdm : il r6sultr aussitôt de la propriété d ' m i cité de l a prop. 11 que l'on a (avec les notations précédentes) îfdm =bpi + i h y 2 = p h d l m 1.
Éléments de Mathématique: Integration -6. Chapitre 6 by N. Bourbaki
by Edward
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